حل {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=20$$

$$y=5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$30x+15y=675$$

15y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$30x=-15y+675$$

هر دو طرف بر 30 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30} بار -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

\frac{-y+45}{2} را با x در معادله جایگزین کنید، 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42 بار \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

-21y را به 20y اضافه کنید.

$$-y+945=940$$

945 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-y=-5$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2} بار 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{45}{2} را به -\frac{5}{2} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=20$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=20,y=5$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=20,y=5$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

برای مساوی کردن 30x و 42x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 42 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 30 ضرب کنید.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

ساده کنید.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

1260x+600y=28200 را از 1260x+630y=28350 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x را به -1260x اضافه کنید. عبارت‌های 1260x و -1260x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$630y-600y=28350-28200$$

630y را به -600y اضافه کنید.

$$30y=28350-28200$$

28350 را به -28200 اضافه کنید.

$$30y=150$$

هر دو طرف بر 30 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در 42x+20y=940 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$42x+20\times 5=940$$

20 بار 5.

$$42x+100=940$$

100 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$42x=840$$

هر دو طرف بر 42 تقسیم شوند.

$$x=20$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=20,y=5$$