حل {l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$3x+6y=24$$

6y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-6y+24$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3} بار -6y+24.

$$x=-2y+8$$

-2y+8 را با x در معادله جایگزین کنید، 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9 بار -2y+8.

$$-18y+72+5y=68$$

-18y را به 5y اضافه کنید.

$$-13y+72=68$$

72 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-13y=-4$$

هر دو طرف بر -13 تقسیم شوند.

$$y=\frac{4}{13}$$

\frac{4}{13} را با y در x=-2y+8 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2 بار \frac{4}{13}.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

8 را به -\frac{8}{13} اضافه کنید.

$$x=\frac{96}{13}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

برای مساوی کردن 3x و 9x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 9 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

ساده کنید.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

27x+15y=204 را از 27x+54y=216 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

27x را به -27x اضافه کنید. عبارت‌های 27x و -27x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$54y-15y=216-204$$

54y را به -15y اضافه کنید.

$$39y=216-204$$

216 را به -204 اضافه کنید.

$$39y=12$$

هر دو طرف بر 39 تقسیم شوند.

$$y=\frac{4}{13}$$

\frac{4}{13} را با y در 9x+5y=68 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5 بار \frac{4}{13}.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

\frac{20}{13} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9x=\frac{864}{13}$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$x=\frac{96}{13}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$