حل {l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=2k$$

$$y=5k$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$3x+2y=16k$$

2y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3x=-2y+16k$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

\frac{1}{3} بار -2y+16k.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

\frac{-2y+16k}{3} را با x در معادله جایگزین کنید، 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

5 بار \frac{-2y+16k}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-\frac{10y}{3} را به -4y اضافه کنید.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

\frac{80k}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{22}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=5k$$

5k را با y در x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

-\frac{2}{3} بار 5k.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

\frac{16k}{3} را به -\frac{10k}{3} اضافه کنید.

$$x=2k$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2k,y=5k$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=2k,y=5k$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

برای مساوی کردن 3x و 5x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 5 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 3 ضرب کنید.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

ساده کنید.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

15x-12y=-30k را از 15x+10y=80k با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

15x را به -15x اضافه کنید. عبارت‌های 15x و -15x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$10y+12y=80k+30k$$

10y را به 12y اضافه کنید.

$$22y=80k+30k$$

80k را به 30k اضافه کنید.

$$22y=110k$$

هر دو طرف بر 22 تقسیم شوند.

$$y=5k$$

5k را با y در 5x-4y=-10k جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

-4 بار 5k.

$$5x-20k=-10k$$

20k را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x=10k$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=2k$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2k,y=5k$$