حل {l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=1$$

$$y=-1$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 5x-2 استفاده کنید.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

از اموال توزیعی برای ضرب -7 در 2y+3 استفاده کنید.

$$15x-6-14y-21=2$$

تفریق 21 را از -6 برای به دست آوردن -27 تفریق کنید.

$$15x-27-14y=2$$

27 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$15x-14y=2+27$$

2 و 27 را برای دریافت 29 اضافه کنید.

$$15x-14y=29$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 3x-y استفاده کنید.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 4-9x استفاده کنید.

$$6x-2y-23=12-27x$$

27x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$6x-2y-23+27x=12$$

6x و 27x را برای به دست آوردن 33x ترکیب کنید.

$$33x-2y-23=12$$

23 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$33x-2y=12+23$$

12 و 23 را برای دریافت 35 اضافه کنید.

$$33x-2y=35$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$15x-14y=29$$

14y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$15x=14y+29$$

هر دو طرف بر 15 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} بار 14y+29.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

\frac{14y+29}{15} را با x در معادله جایگزین کنید، 33x-2y=35.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 بار \frac{14y+29}{15}.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

\frac{154y}{5} را به -2y اضافه کنید.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

\frac{319}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{144}{5} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=-1$$

-1 را با y در x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} بار -1.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{29}{15} را به -\frac{14}{15} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=-1$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 5x-2 استفاده کنید.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

از اموال توزیعی برای ضرب -7 در 2y+3 استفاده کنید.

$$15x-6-14y-21=2$$

تفریق 21 را از -6 برای به دست آوردن -27 تفریق کنید.

$$15x-27-14y=2$$

27 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$15x-14y=2+27$$

2 و 27 را برای دریافت 29 اضافه کنید.

$$15x-14y=29$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 3x-y استفاده کنید.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 4-9x استفاده کنید.

$$6x-2y-23=12-27x$$

27x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$6x-2y-23+27x=12$$

6x و 27x را برای به دست آوردن 33x ترکیب کنید.

$$33x-2y-23=12$$

23 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$33x-2y=12+23$$

12 و 23 را برای دریافت 35 اضافه کنید.

$$33x-2y=35$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=1,y=-1$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 5x-2 استفاده کنید.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

از اموال توزیعی برای ضرب -7 در 2y+3 استفاده کنید.

$$15x-6-14y-21=2$$

تفریق 21 را از -6 برای به دست آوردن -27 تفریق کنید.

$$15x-27-14y=2$$

27 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$15x-14y=2+27$$

2 و 27 را برای دریافت 29 اضافه کنید.

$$15x-14y=29$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 3x-y استفاده کنید.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 4-9x استفاده کنید.

$$6x-2y-23=12-27x$$

27x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$6x-2y-23+27x=12$$

6x و 27x را برای به دست آوردن 33x ترکیب کنید.

$$33x-2y-23=12$$

23 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$33x-2y=12+23$$

12 و 23 را برای دریافت 35 اضافه کنید.

$$33x-2y=35$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

برای مساوی کردن 15x و 33x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 33 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 15 ضرب کنید.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

ساده کنید.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

495x-30y=525 را از 495x-462y=957 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

495x را به -495x اضافه کنید. عبارت‌های 495x و -495x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-462y+30y=957-525$$

-462y را به 30y اضافه کنید.

$$-432y=957-525$$

957 را به -525 اضافه کنید.

$$-432y=432$$

هر دو طرف بر -432 تقسیم شوند.

$$y=-1$$

-1 را با y در 33x-2y=35 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 بار -1.

$$33x+2=35$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$33x=33$$

هر دو طرف بر 33 تقسیم شوند.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=-1$$