حل {l}{25x+35y=16500}{x+y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=100$$

$$y=400$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$25x+35y=16500$$

35y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$25x=-35y+16500$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} بار -35y+16500.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

-\frac{7y}{5}+660 را با x در معادله جایگزین کنید، x+y=500.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

-\frac{7y}{5} را به y اضافه کنید.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

660 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{2}{5} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=400$$

400 را با y در x=-\frac{7}{5}y+660 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} بار 400.

$$x=-560+660$$

660 را به -560 اضافه کنید.

$$x=100$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=100,y=400$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=100,y=400$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

برای مساوی کردن 25x و x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 1 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 25 ضرب کنید.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

ساده کنید.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

25x+25y=12500 را از 25x+35y=16500 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

25x را به -25x اضافه کنید. عبارت‌های 25x و -25x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$35y-25y=16500-12500$$

35y را به -25y اضافه کنید.

$$10y=16500-12500$$

16500 را به -12500 اضافه کنید.

$$10y=4000$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$y=400$$

400 را با y در x+y=500 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x+400=500$$

400 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=100$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=100,y=400$$