حل {l}{220x+108+100y=352}{600y+220x+108=316}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 220 x + 108 + 100 y = 352 } \\ { 600 y + 220 x + 108 = 316 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{314}{275} = 1\frac{39}{275} \approx 1.141818182$$

$$y=-\frac{9}{125}=-0.072$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$220x+100y+108=352$$

108 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$220x+100y=244$$

100y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$220x=-100y+244$$

هر دو طرف بر 220 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{220}\left(-100y+244\right)$$

\frac{1}{220} بار -100y+244.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}$$

-\frac{5y}{11}+\frac{61}{55} را با x در معادله جایگزین کنید، 220x+600y+108=316.

$$220\left(-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55}\right)+600y+108=316$$

220 بار -\frac{5y}{11}+\frac{61}{55}.

$$-100y+244+600y+108=316$$

-100y را به 600y اضافه کنید.

$$500y+244+108=316$$

244 را به 108 اضافه کنید.

$$500y+352=316$$

352 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$500y=-36$$

هر دو طرف بر 500 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{9}{125}$$

-\frac{9}{125} را با y در x=-\frac{5}{11}y+\frac{61}{55} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{5}{11}\left(-\frac{9}{125}\right)+\frac{61}{55}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{5}{11} را در -\frac{9}{125} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{9}{275}+\frac{61}{55}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{61}{55} را به \frac{9}{275} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{314}{275}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}220&100\\220&600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{600}{220\times 600-100\times 220}&-\frac{100}{220\times 600-100\times 220}\\-\frac{220}{220\times 600-100\times 220}&\frac{220}{220\times 600-100\times 220}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}&-\frac{1}{1100}\\-\frac{1}{500}&\frac{1}{500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}244\\208\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{550}\times 244-\frac{1}{1100}\times 208\\-\frac{1}{500}\times 244+\frac{1}{500}\times 208\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{314}{275}\\-\frac{9}{125}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$220x+100y+108=352,220x+600y+108=316$$

220x+600y+108=316 را از 220x+100y+108=352 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$220x-220x+100y-600y+108-108=352-316$$

220x را به -220x اضافه کنید. عبارت‌های 220x و -220x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$100y-600y+108-108=352-316$$

100y را به -600y اضافه کنید.

$$-500y+108-108=352-316$$

108 را به -108 اضافه کنید.

$$-500y=352-316$$

352 را به -316 اضافه کنید.

$$-500y=36$$

هر دو طرف بر -500 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{9}{125}$$

-\frac{9}{125} را با y در 220x+600y+108=316 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$220x+600\left(-\frac{9}{125}\right)+108=316$$

600 بار -\frac{9}{125}.

$$220x-\frac{216}{5}+108=316$$

-\frac{216}{5} را به 108 اضافه کنید.

$$220x+\frac{324}{5}=316$$

\frac{324}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$220x=\frac{1256}{5}$$

هر دو طرف بر 220 تقسیم شوند.

$$x=\frac{314}{275}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{314}{275},y=-\frac{9}{125}$$