حل {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$200x+300y=360$$

300y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$200x=-300y+360$$

هر دو طرف بر 200 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} بار -300y+360.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

-\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} را با x در معادله جایگزین کنید، 300x+200y=340.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 بار -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}.

$$-450y+540+200y=340$$

-450y را به 200y اضافه کنید.

$$-250y+540=340$$

540 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-250y=-200$$

هر دو طرف بر -250 تقسیم شوند.

$$y=\frac{4}{5}$$

\frac{4}{5} را با y در x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{3}{2} را در \frac{4}{5} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{9}{5} را به -\frac{6}{5} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{3}{5}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

برای مساوی کردن 200x و 300x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 300 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 200 ضرب کنید.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

ساده کنید.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

60000x+40000y=68000 را از 60000x+90000y=108000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

60000x را به -60000x اضافه کنید. عبارت‌های 60000x و -60000x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

90000y را به -40000y اضافه کنید.

$$50000y=108000-68000$$

108000 را به -68000 اضافه کنید.

$$50000y=40000$$

هر دو طرف بر 50000 تقسیم شوند.

$$y=\frac{4}{5}$$

\frac{4}{5} را با y در 300x+200y=340 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 بار \frac{4}{5}.

$$300x+160=340$$

160 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$300x=180$$

هر دو طرف بر 300 تقسیم شوند.

$$x=\frac{3}{5}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$