حل {l}{2.5x+12.5y=9750}{13x-13y=9750}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2.5 x + 12.5 y = 9750 } \\ { 13 x - 13 y = 9750 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=1275$$

$$y=525$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2.5x+12.5y=9750,13x-13y=9750$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2.5x+12.5y=9750$$

\frac{25y}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2.5x=-12.5y+9750$$

هر دو طرف معادله را بر 2.5 تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=0.4\left(-12.5y+9750\right)$$

0.4 بار -\frac{25y}{2}+9750.

$$x=-5y+3900$$

-5y+3900 را با x در معادله جایگزین کنید، 13x-13y=9750.

$$13\left(-5y+3900\right)-13y=9750$$

13 بار -5y+3900.

$$-65y+50700-13y=9750$$

-65y را به -13y اضافه کنید.

$$-78y+50700=9750$$

50700 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-78y=-40950$$

هر دو طرف بر -78 تقسیم شوند.

$$y=525$$

525 را با y در x=-5y+3900 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-5\times 525+3900$$

-5 بار 525.

$$x=-2625+3900$$

3900 را به -2625 اضافه کنید.

$$x=1275$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1275,y=525$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2.5x+12.5y=9750,13x-13y=9750$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&12.5\\13&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}&-\frac{12.5}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}\\-\frac{13}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}&\frac{2.5}{2.5\left(-13\right)-12.5\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{5}{78}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9750\\9750\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9750+\frac{5}{78}\times 9750\\\frac{1}{15}\times 9750-\frac{1}{78}\times 9750\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1275\\525\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=1275,y=525$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2.5x+12.5y=9750,13x-13y=9750$$

برای مساوی کردن \frac{5x}{2} و 13x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 13 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2.5 ضرب کنید.

$$13\times 2.5x+13\times 12.5y=13\times 9750,2.5\times 13x+2.5\left(-13\right)y=2.5\times 9750$$

ساده کنید.

$$32.5x+162.5y=126750,32.5x-32.5y=24375$$

32.5x-32.5y=24375 را از 32.5x+162.5y=126750 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$32.5x-32.5x+162.5y+32.5y=126750-24375$$

\frac{65x}{2} را به -\frac{65x}{2} اضافه کنید. عبارت‌های \frac{65x}{2} و -\frac{65x}{2} با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$162.5y+32.5y=126750-24375$$

\frac{325y}{2} را به \frac{65y}{2} اضافه کنید.

$$195y=126750-24375$$

126750 را به -24375 اضافه کنید.

$$195y=102375$$

هر دو طرف بر 195 تقسیم شوند.

$$y=525$$

525 را با y در 13x-13y=9750 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$13x-13\times 525=9750$$

-13 بار 525.

$$13x-6825=9750$$

6825 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$13x=16575$$

هر دو طرف بر 13 تقسیم شوند.

$$x=1275$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1275,y=525$$