حل {l}{2x+3y=780}{5x+4y=1320}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=120$$

$$y=180$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2x+3y=780$$

3y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x=-3y+780$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)$$

\frac{1}{2} بار -3y+780.

$$x=-\frac{3}{2}y+390$$

-\frac{3y}{2}+390 را با x در معادله جایگزین کنید، 5x+4y=1320.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320$$

5 بار -\frac{3y}{2}+390.

$$-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320$$

-\frac{15y}{2} را به 4y اضافه کنید.

$$-\frac{7}{2}y+1950=1320$$

1950 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{7}{2}y=-630$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{7}{2} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=180$$

180 را با y در x=-\frac{3}{2}y+390 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{2}\times 180+390$$

-\frac{3}{2} بار 180.

$$x=-270+390$$

390 را به -270 اضافه کنید.

$$x=120$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=120,y=180$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=120,y=180$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2x+3y=780,5x+4y=1320$$

برای مساوی کردن 2x و 5x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 5 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2 ضرب کنید.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320$$

ساده کنید.

$$10x+15y=3900,10x+8y=2640$$

10x+8y=2640 را از 10x+15y=3900 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$10x-10x+15y-8y=3900-2640$$

10x را به -10x اضافه کنید. عبارت‌های 10x و -10x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$15y-8y=3900-2640$$

15y را به -8y اضافه کنید.

$$7y=3900-2640$$

3900 را به -2640 اضافه کنید.

$$7y=1260$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$y=180$$

180 را با y در 5x+4y=1320 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$5x+4\times 180=1320$$

4 بار 180.

$$5x+720=1320$$

720 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x=600$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x=120$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=120,y=180$$