حل {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2ax+by=14$$

by را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

هر دو طرف بر 2a تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} بار -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

\frac{-by+14}{2a} را با x در معادله جایگزین کنید، -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 بار \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a} را به 9y اضافه کنید.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

\frac{14}{a} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

هر دو طرف بر 9+\frac{b}{a} تقسیم شوند.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

\frac{14-19a}{9a+b} را با y در x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} بار \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a} را به -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} اضافه کنید.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

برای مساوی کردن 2ax و -2x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -2 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2a ضرب کنید.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

ساده کنید.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

\left(-4a\right)x+18ay=-38a را از \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax را به 4ax اضافه کنید. عبارت‌های -4ax و 4ax با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by را به -18ay اضافه کنید.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28 را به 38a اضافه کنید.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

هر دو طرف بر -2b-18a تقسیم شوند.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-\frac{-14+19a}{b+9a} را با y در -2x+9y=-19 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 بار -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

\frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

هر دو طرف بر -2 تقسیم شوند.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

برای x،y حل کنید

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2ax+by=14$$

by را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

هر دو طرف بر 2a تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a} بار -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

\frac{-by+14}{2a} را با x در معادله جایگزین کنید، -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2 بار \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a} را به 9y اضافه کنید.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

\frac{14}{a} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

هر دو طرف بر 9+\frac{b}{a} تقسیم شوند.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

\frac{14-19a}{9a+b} را با y در x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a} بار \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a} را به -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)} اضافه کنید.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

برای مساوی کردن 2ax و -2x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -2 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2a ضرب کنید.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

ساده کنید.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

\left(-4a\right)x+18ay=-38a را از \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax را به 4ax اضافه کنید. عبارت‌های -4ax و 4ax با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by را به -18ay اضافه کنید.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28 را به 38a اضافه کنید.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

هر دو طرف بر -2b-18a تقسیم شوند.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-\frac{-14+19a}{b+9a} را با y در -2x+9y=-19 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9 بار -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

\frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

هر دو طرف بر -2 تقسیم شوند.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$