حل {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

برای a،b حل کنید

$$a=24$$

$$b=16$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 3b را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2a-3b=0$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن a در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، a را به دست آورید.

$$2a-3b=0$$

3b را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2a=3b$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

\frac{1}{2} بار 3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

\frac{3b}{2} را با a در معادله جایگزین کنید، 7a+2b=200.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

7 بار \frac{3b}{2}.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

\frac{21b}{2} را به 2b اضافه کنید.

$$\frac{25}{2}b=200$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{25}{2} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$b=16$$

16 را با b در a=\frac{3}{2}b جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای a حل کنید.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

\frac{3}{2} بار 16.

$$a=24$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$a=24,b=16$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 3b را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2a-3b=0$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس a و b را استخراج کنید.

$$a=24,b=16$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 3b را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2a-3b=0$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

برای مساوی کردن 2a و 7a، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 7 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 2 ضرب کنید.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

ساده کنید.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

14a+4b=400 را از 14a-21b=0 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

14a را به -14a اضافه کنید. عبارت‌های 14a و -14a با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-21b-4b=-400$$

-21b را به -4b اضافه کنید.

$$-25b=-400$$

هر دو طرف بر -25 تقسیم شوند.

$$b=16$$

16 را با b در 7a+2b=200 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای a حل کنید.

$$7a+2\times 16=200$$

2 بار 16.

$$7a+32=200$$

32 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$7a=168$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$a=24$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$a=24,b=16$$