حل {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=1$$

$$y=-1$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2 بار 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

3 بار y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

-6 را به 12 اضافه کنید.

$$4x+3y+6=7$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x+3y=1$$

3y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x=-3y+1$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{4} بار -3y+1.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

\frac{-3y+1}{4} را با x در معادله جایگزین کنید، 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

\frac{1}{4} را به 2 اضافه کنید.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

4 بار \frac{-3y+9}{4}.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

-5 بار -y+2.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

-3y را به 5y اضافه کنید.

$$2y+9-10=-3$$

9 را به -10 اضافه کنید.

$$2y-1=-3$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$2y=-2$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$y=-1$$

-1 را با y در x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

-\frac{3}{4} بار -1.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{4} را به \frac{3}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=1,y=-1$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

اولین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2 بار 2x-3.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

3 بار y+4.

$$4x-6+3y+12=7$$

-6 را به 12 اضافه کنید.

$$4x+3y+6=7$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x+3y=1$$

دومین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

4 بار x+2.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

-5 بار -y+2.

$$4x+8+5y-10=-3$$

8 را به -10 اضافه کنید.

$$4x+5y-2=-3$$

2 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x+5y=-1$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=1,y=-1$$