حل {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

برای m،n حل کنید

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن m در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، m را به دست آورید.

$$16m+50n=55$$

50n را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$16m=-50n+55$$

هر دو طرف بر 16 تقسیم شوند.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

\frac{1}{16} بار -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} را با m در معادله جایگزین کنید، 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

2 بار -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

-\frac{25n}{4} را به 4n اضافه کنید.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

\frac{55}{8} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{9}{4} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$n=\frac{5}{6}$$

\frac{5}{6} را با n در m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای m حل کنید.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{25}{8} را در \frac{5}{6} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{55}{16} را به -\frac{125}{48} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$m=\frac{5}{6}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس m و n را استخراج کنید.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

برای مساوی کردن 16m و 2m، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 2 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 16 ضرب کنید.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

ساده کنید.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

32m+64n=80 را از 32m+100n=110 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

32m را به -32m اضافه کنید. عبارت‌های 32m و -32m با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$100n-64n=110-80$$

100n را به -64n اضافه کنید.

$$36n=110-80$$

110 را به -80 اضافه کنید.

$$36n=30$$

هر دو طرف بر 36 تقسیم شوند.

$$n=\frac{5}{6}$$

\frac{5}{6} را با n در 2m+4n=5 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای m حل کنید.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

4 بار \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

\frac{10}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2m=\frac{5}{3}$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$m=\frac{5}{6}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$