حل {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=40$$

$$y=10$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$125x+110y=6100$$

110y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$125x=-110y+6100$$

هر دو طرف بر 125 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

\frac{1}{125} بار -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

-\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} را با x در معادله جایگزین کنید، x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

-\frac{22y}{25} را به y اضافه کنید.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

\frac{244}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{3}{25} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=10$$

10 را با y در x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

-\frac{22}{25} بار 10.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{244}{5} را به -\frac{44}{5} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=40$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=40,y=10$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=40,y=10$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

برای مساوی کردن 125x و x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 1 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 125 ضرب کنید.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

ساده کنید.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

125x+125y=6250 را از 125x+110y=6100 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

125x را به -125x اضافه کنید. عبارت‌های 125x و -125x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$110y-125y=6100-6250$$

110y را به -125y اضافه کنید.

$$-15y=6100-6250$$

6100 را به -6250 اضافه کنید.

$$-15y=-150$$

هر دو طرف بر -15 تقسیم شوند.

$$y=10$$

10 را با y در x+y=50 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x+10=50$$

10 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=40$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=40,y=10$$