حل {l}{12y+20x=112}{12x+20y=144}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 y + 20 x = 112 } \\ { 12 x + 20 y = 144 } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x=2$$

$$y=6$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$12y+20x=112$$

20x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$12y=-20x+112$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{12}\left(-20x+112\right)$$

\frac{1}{12} بار -20x+112.

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}$$

\frac{-5x+28}{3} را با y در معادله جایگزین کنید، 20y+12x=144.

$$20\left(-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}\right)+12x=144$$

20 بار \frac{-5x+28}{3}.

$$-\frac{100}{3}x+\frac{560}{3}+12x=144$$

-\frac{100x}{3} را به 12x اضافه کنید.

$$-\frac{64}{3}x+\frac{560}{3}=144$$

\frac{560}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{64}{3}x=-\frac{128}{3}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{64}{3} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$x=2$$

2 را با x در y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{28}{3}$$

-\frac{5}{3} بار 2.

$$y=\frac{-10+28}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{28}{3} را به -\frac{10}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y=6$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=6,x=2$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12\times 12-20\times 20}&-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}\\-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}&\frac{12}{12\times 12-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}&\frac{5}{64}\\\frac{5}{64}&-\frac{3}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}\times 112+\frac{5}{64}\times 144\\\frac{5}{64}\times 112-\frac{3}{64}\times 144\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=6,x=2$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

برای مساوی کردن 12y و 20y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 20 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 12 ضرب کنید.

$$20\times 12y+20\times 20x=20\times 112,12\times 20y+12\times 12x=12\times 144$$

ساده کنید.

$$240y+400x=2240,240y+144x=1728$$

240y+144x=1728 را از 240y+400x=2240 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$240y-240y+400x-144x=2240-1728$$

240y را به -240y اضافه کنید. عبارت‌های 240y و -240y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$400x-144x=2240-1728$$

400x را به -144x اضافه کنید.

$$256x=2240-1728$$

2240 را به -1728 اضافه کنید.

$$256x=512$$

هر دو طرف بر 256 تقسیم شوند.

$$x=2$$

2 را با x در 20y+12x=144 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$20y+12\times 2=144$$

12 بار 2.

$$20y+24=144$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$20y=120$$

هر دو طرف بر 20 تقسیم شوند.

$$y=6$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=6,x=2$$