حل {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=4$$

$$y=7$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 6y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+y-6y=5$$

y و -6y را برای به دست آوردن -5y ترکیب کنید.

$$10x-5y=5$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 10x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y+x-10x=y+27$$

x و -10x را برای به دست آوردن -9x ترکیب کنید.

$$10y-9x=y+27$$

y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y-9x-y=27$$

10y و -y را برای به دست آوردن 9y ترکیب کنید.

$$9y-9x=27$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$10x-5y=5$$

5y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10x=5y+5$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{10} بار 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

\frac{1+y}{2} را با x در معادله جایگزین کنید، -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

-9 بار \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

-\frac{9y}{2} را به 9y اضافه کنید.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

\frac{9}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{9}{2} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=7$$

7 را با y در x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2} بار 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{2} را به \frac{7}{2} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=4,y=7$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 6y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+y-6y=5$$

y و -6y را برای به دست آوردن -5y ترکیب کنید.

$$10x-5y=5$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 10x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y+x-10x=y+27$$

x و -10x را برای به دست آوردن -9x ترکیب کنید.

$$10y-9x=y+27$$

y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y-9x-y=27$$

10y و -y را برای به دست آوردن 9y ترکیب کنید.

$$9y-9x=27$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=4,y=7$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 6y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10x+y-6y=5$$

y و -6y را برای به دست آوردن -5y ترکیب کنید.

$$10x-5y=5$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. 10x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y+x-10x=y+27$$

x و -10x را برای به دست آوردن -9x ترکیب کنید.

$$10y-9x=y+27$$

y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$10y-9x-y=27$$

10y و -y را برای به دست آوردن 9y ترکیب کنید.

$$9y-9x=27$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

برای مساوی کردن 10x و -9x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -9 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 10 ضرب کنید.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

ساده کنید.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

-90x+90y=270 را از -90x+45y=-45 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

-90x را به 90x اضافه کنید. عبارت‌های -90x و 90x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$45y-90y=-45-270$$

45y را به -90y اضافه کنید.

$$-45y=-45-270$$

-45 را به -270 اضافه کنید.

$$-45y=-315$$

هر دو طرف بر -45 تقسیم شوند.

$$y=7$$

7 را با y در -9x+9y=27 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-9x+9\times 7=27$$

9 بار 7.

$$-9x+63=27$$

63 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-9x=-36$$

هر دو طرف بر -9 تقسیم شوند.

$$x=4$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=4,y=7$$