حل {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=10$$

$$y=14$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$10x+5y=170$$

5y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$10x=-5y+170$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10} بار -5y+170.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

-\frac{y}{2}+17 را با x در معادله جایگزین کنید، 6x+10y=200.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6 بار -\frac{y}{2}+17.

$$-3y+102+10y=200$$

-3y را به 10y اضافه کنید.

$$7y+102=200$$

102 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$7y=98$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$y=14$$

14 را با y در x=-\frac{1}{2}y+17 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2} بار 14.

$$x=-7+17$$

17 را به -7 اضافه کنید.

$$x=10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=10,y=14$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=10,y=14$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

برای مساوی کردن 10x و 6x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 6 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 10 ضرب کنید.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

ساده کنید.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

60x+100y=2000 را از 60x+30y=1020 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

60x را به -60x اضافه کنید. عبارت‌های 60x و -60x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$30y-100y=1020-2000$$

30y را به -100y اضافه کنید.

$$-70y=1020-2000$$

1020 را به -2000 اضافه کنید.

$$-70y=-980$$

هر دو طرف بر -70 تقسیم شوند.

$$y=14$$

14 را با y در 6x+10y=200 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$6x+10\times 14=200$$

10 بار 14.

$$6x+140=200$$

140 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x=60$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=10$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=10,y=14$$