حل {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

برای a،b حل کنید

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن a در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، a را به دست آورید.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 بار b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

4026 را به 2012 اضافه کنید.

$$a-2b+6038=3$$

6038 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$a-2b=-6035$$

2b را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$a=2b-6035$$

2b-6035 را با a در معادله جایگزین کنید، 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

-6035 را به 2012 اضافه کنید.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 بار 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

4 بار b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

6b را به 4b اضافه کنید.

$$10b-12069-8052=5$$

-12069 را به -8052 اضافه کنید.

$$10b-20121=5$$

20121 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10b=20126$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$b=\frac{10063}{5}$$

\frac{10063}{5} را با b در a=2b-6035 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای a حل کنید.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

2 بار \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

-6035 را به \frac{20126}{5} اضافه کنید.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

اولین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2 بار b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

4026 را به 2012 اضافه کنید.

$$a-2b+6038=3$$

6038 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$a-2b=-6035$$

دومین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3 بار a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

4 بار b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

6036 را به -8052 اضافه کنید.

$$3a+4b-2016=5$$

2016 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$3a+4b=2021$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس a و b را استخراج کنید.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$