حل {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. متغیر y نباید برابر 0 باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو طرف معادله را در y ضرب کنید.

$$x=ey$$

ey را با x در معادله جایگزین کنید، x+y=1.

$$ey+y=1$$

ey را به y اضافه کنید.

$$\left(e+1\right)y=1$$

هر دو طرف بر e+1 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

\frac{1}{e+1} را با y در x=ey جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

e بار \frac{1}{e+1}.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

متغیر y نباید برابر با 0 باشد.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. متغیر y نباید برابر 0 باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو طرف معادله را در y ضرب کنید.

$$x=ey$$

ey را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x-ey=0$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

متغیر y نباید برابر با 0 باشد.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. متغیر y نباید برابر 0 باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو طرف معادله را در y ضرب کنید.

$$x=ey$$

ey را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x-ey=0$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

x+y=1 را از x+\left(-e\right)y=0 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

x را به -x اضافه کنید. عبارت‌های x و -x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

-ey را به -y اضافه کنید.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

هر دو طرف بر -e-1 تقسیم شوند.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

\frac{1}{1+e} را با y در x+y=1 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

\frac{1}{1+e} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

متغیر y نباید برابر با 0 باشد.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$