حل {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. متغیر y نباید با هیچکدام از مقادیر -5,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در y\left(y+5\right)، کوچکترین مضرب مشترک y+5,y، ضرب شود.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب y در x+2 استفاده کنید.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب y+5 در x+7 استفاده کنید.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

yx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

yx و -yx را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$2y=7y+5x+35$$

7y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2y-7y=5x+35$$

2y و -7y را برای به دست آوردن -5y ترکیب کنید.

$$-5y=5x+35$$

هر دو طرف بر -5 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

-\frac{1}{5} بار 35+5x.

$$y=-x-7$$

-x-7 را با y در معادله جایگزین کنید، -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-4 بار -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

4x را به 2x اضافه کنید.

$$6x+28=-1$$

28 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x=-29$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-\frac{29}{6} را با x در y=-x-7 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-1 بار -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

-7 را به \frac{29}{6} اضافه کنید.

$$y=-\frac{13}{6}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. متغیر y نباید با هیچکدام از مقادیر -5,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در y\left(y+5\right)، کوچکترین مضرب مشترک y+5,y، ضرب شود.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب y در x+2 استفاده کنید.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب y+5 در x+7 استفاده کنید.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

yx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

yx و -yx را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$2y=7y+5x+35$$

7y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2y-7y=5x+35$$

2y و -7y را برای به دست آوردن -5y ترکیب کنید.

$$-5y=5x+35$$

5x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-5y-5x=35$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. متغیر y نباید با هیچکدام از مقادیر -5,0 برابر باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو سوی معادله در y\left(y+5\right)، کوچکترین مضرب مشترک y+5,y، ضرب شود.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب y در x+2 استفاده کنید.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب y+5 در x+7 استفاده کنید.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

yx را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

yx و -yx را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$2y=7y+5x+35$$

7y را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2y-7y=5x+35$$

2y و -7y را برای به دست آوردن -5y ترکیب کنید.

$$-5y=5x+35$$

5x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-5y-5x=35$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

برای مساوی کردن -5y و -4y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -4 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در -5 ضرب کنید.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

ساده کنید.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

20y-10x=5 را از 20y+20x=-140 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

20y را به -20y اضافه کنید. عبارت‌های 20y و -20y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$20x+10x=-140-5$$

20x را به 10x اضافه کنید.

$$30x=-140-5$$

-140 را به -5 اضافه کنید.

$$30x=-145$$

هر دو طرف بر 30 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-\frac{29}{6} را با x در -4y+2x=-1 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

2 بار -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

\frac{29}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{13}{6}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$