حل {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 40، کوچکترین مضرب مشترک 4,10,8، ضرب شود.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10 و 5 را برای دستیابی به 50 ضرب کنید.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 50 در x-3 استفاده کنید.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4 و 3 را برای دستیابی به -12 ضرب کنید.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -12 در 2y+1 استفاده کنید.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

تفریق 12 را از -150 برای به دست آوردن -162 تفریق کنید.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -7 در x+y+1 استفاده کنید.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

تفریق 7 را از 4 برای به دست آوردن -3 تفریق کنید.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در -3-7x-7y استفاده کنید.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

35x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x و 35x را برای به دست آوردن 85x ترکیب کنید.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

35y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y و 35y را برای به دست آوردن 11y ترکیب کنید.

$$85x-162+11y=-15$$

162 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$85x+11y=-15+162$$

-15 و 162 را برای دریافت 147 اضافه کنید.

$$85x+11y=147$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب -5 در 2y-7 استفاده کنید.

$$6x-10y+35=21$$

35 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x-10y=21-35$$

تفریق 35 را از 21 برای به دست آوردن -14 تفریق کنید.

$$6x-10y=-14$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$85x+11y=147$$

11y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$85x=-11y+147$$

هر دو طرف بر 85 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85} بار -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

\frac{-11y+147}{85} را با x در معادله جایگزین کنید، 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6 بار \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-\frac{66y}{85} را به -10y اضافه کنید.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

\frac{882}{85} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

هر دو طرف معادله را بر -\frac{916}{85} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=\frac{518}{229}$$

\frac{518}{229} را با y در x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{11}{85} را در \frac{518}{229} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{147}{85} را به -\frac{5698}{19465} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=\frac{329}{229}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 40، کوچکترین مضرب مشترک 4,10,8، ضرب شود.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10 و 5 را برای دستیابی به 50 ضرب کنید.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 50 در x-3 استفاده کنید.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4 و 3 را برای دستیابی به -12 ضرب کنید.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -12 در 2y+1 استفاده کنید.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

تفریق 12 را از -150 برای به دست آوردن -162 تفریق کنید.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -7 در x+y+1 استفاده کنید.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

تفریق 7 را از 4 برای به دست آوردن -3 تفریق کنید.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در -3-7x-7y استفاده کنید.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

35x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x و 35x را برای به دست آوردن 85x ترکیب کنید.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

35y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y و 35y را برای به دست آوردن 11y ترکیب کنید.

$$85x-162+11y=-15$$

162 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$85x+11y=-15+162$$

-15 و 162 را برای دریافت 147 اضافه کنید.

$$85x+11y=147$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب -5 در 2y-7 استفاده کنید.

$$6x-10y+35=21$$

35 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x-10y=21-35$$

تفریق 35 را از 21 برای به دست آوردن -14 تفریق کنید.

$$6x-10y=-14$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. هر دو سوی معادله در 40، کوچکترین مضرب مشترک 4,10,8، ضرب شود.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10 و 5 را برای دستیابی به 50 ضرب کنید.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 50 در x-3 استفاده کنید.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4 و 3 را برای دستیابی به -12 ضرب کنید.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -12 در 2y+1 استفاده کنید.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

تفریق 12 را از -150 برای به دست آوردن -162 تفریق کنید.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب -7 در x+y+1 استفاده کنید.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

تفریق 7 را از 4 برای به دست آوردن -3 تفریق کنید.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در -3-7x-7y استفاده کنید.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

35x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x و 35x را برای به دست آوردن 85x ترکیب کنید.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

35y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y و 35y را برای به دست آوردن 11y ترکیب کنید.

$$85x-162+11y=-15$$

162 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$85x+11y=-15+162$$

-15 و 162 را برای دریافت 147 اضافه کنید.

$$85x+11y=147$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب -5 در 2y-7 استفاده کنید.

$$6x-10y+35=21$$

35 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x-10y=21-35$$

تفریق 35 را از 21 برای به دست آوردن -14 تفریق کنید.

$$6x-10y=-14$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

برای مساوی کردن 85x و 6x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 6 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 85 ضرب کنید.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

ساده کنید.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

510x-850y=-1190 را از 510x+66y=882 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

510x را به -510x اضافه کنید. عبارت‌های 510x و -510x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$66y+850y=882+1190$$

66y را به 850y اضافه کنید.

$$916y=882+1190$$

882 را به 1190 اضافه کنید.

$$916y=2072$$

هر دو طرف بر 916 تقسیم شوند.

$$y=\frac{518}{229}$$

\frac{518}{229} را با y در 6x-10y=-14 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10 بار \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

\frac{5180}{229} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$x=\frac{329}{229}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$