حل {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=-1$$

$$y = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 3x-y استفاده کنید.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x-5y استفاده کنید.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

6x و -2x را برای به دست آوردن 4x ترکیب کنید.

$$4x-2y=-10y-64$$

10y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x-2y+10y=-64$$

-2y و 10y را برای به دست آوردن 8y ترکیب کنید.

$$4x+8y=-64$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x-2 استفاده کنید.

$$9x-6-2y=0$$

6 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$9x-2y=6$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$4x+8y=-64$$

8y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x=-8y-64$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

\frac{1}{4} بار -8y-64.

$$x=-2y-16$$

-2y-16 را با x در معادله جایگزین کنید، 9x-2y=6.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=6$$

9 بار -2y-16.

$$-18y-144-2y=6$$

-18y را به -2y اضافه کنید.

$$-20y-144=6$$

144 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-20y=150$$

هر دو طرف بر -20 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{15}{2}$$

-\frac{15}{2} را با y در x=-2y-16 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-2\left(-\frac{15}{2}\right)-16$$

-2 بار -\frac{15}{2}.

$$x=15-16$$

-16 را به 15 اضافه کنید.

$$x=-1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 3x-y استفاده کنید.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x-5y استفاده کنید.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

6x و -2x را برای به دست آوردن 4x ترکیب کنید.

$$4x-2y=-10y-64$$

10y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x-2y+10y=-64$$

-2y و 10y را برای به دست آوردن 8y ترکیب کنید.

$$4x+8y=-64$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x-2 استفاده کنید.

$$9x-6-2y=0$$

6 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$9x-2y=6$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\6\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 6\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 6\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 2 در 3x-y استفاده کنید.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x-5y استفاده کنید.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

6x و -2x را برای به دست آوردن 4x ترکیب کنید.

$$4x-2y=-10y-64$$

10y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x-2y+10y=-64$$

-2y و 10y را برای به دست آوردن 8y ترکیب کنید.

$$4x+8y=-64$$

دومین معادله را در نظر بگیرید. از اموال توزیعی برای ضرب 3 در 3x-2 استفاده کنید.

$$9x-6-2y=0$$

6 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$9x-2y=6$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$4x+8y=-64,9x-2y=6$$

برای مساوی کردن 4x و 9x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 9 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 4 ضرب کنید.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 6$$

ساده کنید.

$$36x+72y=-576,36x-8y=24$$

36x-8y=24 را از 36x+72y=-576 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$36x-36x+72y+8y=-576-24$$

36x را به -36x اضافه کنید. عبارت‌های 36x و -36x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$72y+8y=-576-24$$

72y را به 8y اضافه کنید.

$$80y=-576-24$$

-576 را به -24 اضافه کنید.

$$80y=-600$$

هر دو طرف بر 80 تقسیم شوند.

$$y=-\frac{15}{2}$$

-\frac{15}{2} را با y در 9x-2y=6 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$9x-2\left(-\frac{15}{2}\right)=6$$

-2 بار -\frac{15}{2}.

$$9x+15=6$$

15 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9x=-9$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$x=-1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-1,y=-\frac{15}{2}$$