حل lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

برای λ حل کنید

$$\lambda =9$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -729 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$\lambda =9$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، \lambda -k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. \lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 را بر \lambda -9 برای به دست آوردن \lambda ^{2}-18\lambda +81 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -18 را با b، و 81 را با c جایگزین کنید.

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

راهکارها مشابه هستند.

$$\lambda =9$$