حل ∫ (from 5 to 10) of x+sin(x)+12 wrt x

$$\int_{ 5 }^{ 10 } x+ \sin ( x ) +12 d x$$

ارزیابی

$$\frac{2\cos(5)+195-2\cos(10)}{2}\approx 98.622733715$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int x+\sin(x)+12\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sin(x)\mathrm{d}x+\int 12\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sin(x)\mathrm{d}x+\int 12\mathrm{d}x$$

از \int \sin(x)\mathrm{d}x=-\cos(x)، در جدول انتگرال‌های مشترک استفاده کنید تا نتیجه را به‌دست آورید.

$$\frac{x^{2}}{2}-\cos(x)+\int 12\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 12 را بگیرید.

$$\frac{x^{2}}{2}-\cos(x)+12x$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{10^{2}}{2}-\cos(10)+10\times 12-\left(\frac{5^{2}}{2}-\cos(5)+5\times 12\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{1}{2}\left(-2\cos(10)+195+2\cos(5)\right)$$