حل ∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

ارزیابی

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

با استفاده از \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x را با \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}جایگزین کنید.

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

ساده کنید.

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

ساده کنید.

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$