حل ∫ (from -1 to 3) of x(x-1)(x+2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } x(x-1)(x+2) d x$$

ارزیابی

$$\frac{64}{3}\approx 21.333333333$$

مراحل راه‌حل

از اموال توزیعی برای ضرب x در x-1 استفاده کنید.

$$\int _{-1}^{3}\left(x^{2}-x\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

ویژگی توزیعی را از طریق ضرب کردن هر گزاره از x^{2}-x در هر گزاره از x+2 اعمال کنید.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

2x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن x^{2} ترکیب کنید.

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{3}\mathrm{d}x را با \frac{x^{4}}{4}جایگزین کنید.

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -2 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{64}{3}$$