حل ∫ 2xleft(x^2+1right)^3 wrt x

$$\int{ 2x { \left( { x }^{ 2 } +1 \right) }^{ 3 } }d x$$

ارزیابی

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} برای گسترش \left(x^{2}+1\right)^{3} استفاده کنید.

$$\int 2x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 3 را برای رسیدن به 6 ضرب کنید.

$$\int 2x\left(x^{6}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$\int 2x\left(x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x در x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1 استفاده کنید.

$$\int 2x^{7}+6x^{5}+6x^{3}+2x\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 2x^{7}\mathrm{d}x+\int 6x^{5}\mathrm{d}x+\int 6x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$2\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{7}\mathrm{d}x را با \frac{x^{8}}{8}جایگزین کنید. 2 بار \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{8}}{4}+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{5}\mathrm{d}x را با \frac{x^{6}}{6}جایگزین کنید. 6 بار \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{3}\mathrm{d}x را با \frac{x^{4}}{4}جایگزین کنید. 6 بار \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. 2 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{6}+\frac{x^{8}}{4}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$2x\left(x^{2}+1\right)^{3}$$