حل ∫ left(x^3-1right)^32x wrt x

$$\int{ { \left( { x }^{ 3 } -1 \right) }^{ 3 } 2x }d x$$

ارزیابی

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-x^{2}+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(x^{3}-1\right)^{3} استفاده کنید.

$$\int \left(\left(x^{3}\right)^{3}-3\left(x^{3}\right)^{2}+3x^{3}-1\right)\times 2x\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 3 و 3 را برای رسیدن به 9 ضرب کنید.

$$\int \left(x^{9}-3\left(x^{3}\right)^{2}+3x^{3}-1\right)\times 2x\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 3 و 2 را برای رسیدن به 6 ضرب کنید.

$$\int \left(x^{9}-3x^{6}+3x^{3}-1\right)\times 2x\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب x^{9}-3x^{6}+3x^{3}-1 در 2 استفاده کنید.

$$\int \left(2x^{9}-6x^{6}+6x^{3}-2\right)x\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x^{9}-6x^{6}+6x^{3}-2 در x استفاده کنید.

$$\int 2x^{10}-6x^{7}+6x^{4}-2x\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 2x^{10}\mathrm{d}x+\int -6x^{7}\mathrm{d}x+\int 6x^{4}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$2\int x^{10}\mathrm{d}x-6\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{10}\mathrm{d}x را با \frac{x^{11}}{11}جایگزین کنید. 2 بار \frac{x^{11}}{11}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-6\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{7}\mathrm{d}x را با \frac{x^{8}}{8}جایگزین کنید. -6 بار \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+6\int x^{4}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{4}\mathrm{d}x را با \frac{x^{5}}{5}جایگزین کنید. 6 بار \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -2 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-x^{2}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$\frac{2x^{11}}{11}-\frac{3x^{8}}{4}+\frac{6x^{5}}{5}-x^{2}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$2x\left(x^{3}-1\right)^{3}$$