حل ∫ (from t to t + 1) of (-x^2+2x) wrt x

$$\int _ { t } ^ { t + 1 } ( - x ^ { 2 } + 2 x ) d x$$

ارزیابی

$$\frac{2}{3}+t-t^{2}$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int -x^{2}+2x\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. -1 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. 2 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$-\frac{1}{3}\left(t+1\right)^{3}+\left(t+1\right)^{2}-\left(-\frac{t^{3}}{3}+t^{2}\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{2}{3}+t-t^{2}$$

مشتق گرفتن w.r.t. t

$$1-2t$$