حل ∫ (from 1 to 3) of (2+3x-x^2) wrt x=

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( 2 + 3 x - x ^ { 2 } ) d x =$$

ارزیابی

$$\frac{22}{3}\approx 7.333333333$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 2+3x-x^{2}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 2\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int 2\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 2 را بگیرید.

$$2x+3\int x\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. 3 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$2x+\frac{3x^{2}}{2}-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. -1 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$2x+\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$2\times 3+\frac{3}{2}\times 3^{2}-\frac{3^{3}}{3}-\left(2\times 1+\frac{3}{2}\times 1^{2}-\frac{1^{3}}{3}\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{22}{3}$$