حل ∫ (from 1 to 2) of (x^3+5)^2(3x^2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( x ^ { 3 } + 5 ) ^ { 2 } ( 3 x ^ { 2 } ) d x$$

ارزیابی

$$\frac{1981}{3}\approx 660.333333333$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x^{3}+5\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int _{1}^{2}\left(\left(x^{3}\right)^{2}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 3 و 2 را برای رسیدن به 6 ضرب کنید.

$$\int _{1}^{2}\left(x^{6}+10x^{3}+25\right)\times 3x^{2}\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب x^{6}+10x^{3}+25 در 3 استفاده کنید.

$$\int _{1}^{2}\left(3x^{6}+30x^{3}+75\right)x^{2}\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3x^{6}+30x^{3}+75 در x^{2} استفاده کنید.

$$\int _{1}^{2}3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 3x^{8}+30x^{5}+75x^{2}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 3x^{8}\mathrm{d}x+\int 30x^{5}\mathrm{d}x+\int 75x^{2}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$3\int x^{8}\mathrm{d}x+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{8}\mathrm{d}x را با \frac{x^{9}}{9}جایگزین کنید. 3 بار \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{x^{9}}{3}+30\int x^{5}\mathrm{d}x+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{5}\mathrm{d}x را با \frac{x^{6}}{6}جایگزین کنید. 30 بار \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+75\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 75 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{9}}{3}+5x^{6}+25x^{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$25\times 2^{3}+5\times 2^{6}+\frac{2^{9}}{3}-\left(25\times 1^{3}+5\times 1^{6}+\frac{1^{9}}{3}\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{1981}{3}$$