حل ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

ارزیابی

$$-\frac{16}{3}\approx -5.333333333$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4-\sqrt{x}\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} را به توان 2 محاسبه کنید و x را به دست آورید.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

برای پیدا کردن متضاد 16-8\sqrt{x}+x، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

تفریق 16 را از 6 برای به دست آوردن -10 تفریق کنید.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال -10 را بگیرید.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} را به‌عنوان x^{\frac{1}{2}} بازنویسی کنید. چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x را با \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}جایگزین کنید. ساده کنید. 8 بار \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -1 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

ساده کنید.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

ساده کنید.

$$-\frac{16}{3}$$