حل ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

ارزیابی

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

چون \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int r\mathrm{d}r را با \frac{r^{2}}{2}جایگزین کنید.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

چون \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int r^{2}\mathrm{d}r را با \frac{r^{3}}{3}جایگزین کنید. -1 بار \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

ساده کنید.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$