حل ∫ (from 0 to 1 - z - y) of (x+y+z) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 - z - y } ( x + y + z ) d x$$

ارزیابی

$$\frac{-\left(y+z\right)^{2}+1}{2}$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int x+y+z\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int x\mathrm{d}x+\int y\mathrm{d}x+\int z\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int y\mathrm{d}x+\int z\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال y را بگیرید.

$$\frac{x^{2}}{2}+yx+\int z\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال z را بگیرید.

$$\frac{x^{2}}{2}+yx+zx$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{1}{2}\left(1-z-y\right)^{2}+y\left(1-z-y\right)+z\left(1-z-y\right)-\left(\frac{0^{2}}{2}+y\times 0+z\times 0\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{1-\left(z+y\right)^{2}}{2}$$

مشتق گرفتن w.r.t. y

$$-y-z$$