حل ∫ (from 0 to 1) of x(1-x)^3 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } x ( 1 - x ) ^ { 3 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{1}{20}=0.05$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(1-x\right)^{3} استفاده کنید.

$$\int _{0}^{1}x\left(1-3x+3x^{2}-x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب x در 1-3x+3x^{2}-x^{3} استفاده کنید.

$$\int _{0}^{1}x-3x^{2}+3x^{3}-x^{4}\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int x-3x^{2}+3x^{3}-x^{4}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -3x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{4}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int x\mathrm{d}x-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید.

$$\frac{x^{2}}{2}-3\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. -3 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{3}\mathrm{d}x را با \frac{x^{4}}{4}جایگزین کنید. 3 بار \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{3x^{4}}{4}-\int x^{4}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{4}\mathrm{d}x را با \frac{x^{5}}{5}جایگزین کنید. -1 بار \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{2}}{2}-x^{3}+\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{5}}{5}$$

ساده کنید.

$$-\frac{x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}-x^{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$-\frac{1^{5}}{5}+\frac{3}{4}\times 1^{4}-1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(-\frac{0^{5}}{5}+\frac{3}{4}\times 0^{4}-0^{3}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{1}{20}$$