حل ∫ (from 0 to 1) of 2^x+x^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 2 ^ { x } + x ^ { 2 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{1}{\ln(2)}+\frac{1}{3}\approx 1.776028374$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 2^{x}+x^{2}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 2^{x}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

از \int x^{k}\mathrm{d}k=\frac{x^{k}}{\ln(x)}، در جدول انتگرال‌های مشترک استفاده کنید تا نتیجه را به‌دست آورید.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید.

$$\frac{2^{x}}{\ln(2)}+\frac{x^{3}}{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$2^{1}\ln(2)^{-1}+\frac{1^{3}}{3}-\left(2^{0}\ln(2)^{-1}+\frac{0^{3}}{3}\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{\ln(2)}$$