حل ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)*(3x-5) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) \cdot ( 3 x - 5 ) d x$$

ارزیابی

$$-\frac{27}{2}=-13.5$$

مراحل راه‌حل

ویژگی توزیعی را از طریق ضرب کردن هر گزاره از 2x+3 در هر گزاره از 3x-5 اعمال کنید.

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-10x+9x-15\mathrm{d}x$$

-10x و 9x را برای به دست آوردن -x ترکیب کنید.

$$\int _{0}^{1}6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 6x^{2}-x-15\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 6 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}-\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -1 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال -15 را بگیرید.

$$2x^{3}-\frac{x^{2}}{2}-15x$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$2\times 1^{3}-\frac{1^{2}}{2}-15-\left(2\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}-15\times 0\right)$$

ساده کنید.

$$-\frac{27}{2}$$