حل ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

ارزیابی

$$1$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}v=av، انتگرال 1 را بگیرید.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

چون \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int v^{3}\mathrm{d}v را با \frac{v^{4}}{4}جایگزین کنید. -8 بار \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

چون \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int v^{7}\mathrm{d}v را با \frac{v^{8}}{8}جایگزین کنید. 16 بار \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

ساده کنید.

$$1$$