حل ∫ (from 0 to pi) of x*cosnsqrt{pi}x wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \pi } x \cdot \cos n \sqrt { \pi } x d x$$

ارزیابی

$$\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\cos(n)}{3}$$

مراحل راه‌حل

x و x را برای دستیابی به x^{2} ضرب کنید.

$$\int _{0}^{\pi }x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

با استفاده از \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\times \frac{x^{3}}{3}$$

ساده کنید.

$$\frac{\sqrt{\pi }\cos(n)x^{3}}{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\pi ^{3}-\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\times 0^{3}$$

ساده کنید.

$$\frac{\cos(n)\pi ^{\frac{7}{2}}}{3}$$

مشتق گرفتن w.r.t. n

$$-\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\sin(n)}{3}$$