حل ∫ (from - 3 to - 1) of (1/x^2-1/x^3) wrt x

$$\int _ { - 3 } ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ) d x$$

ارزیابی

$$\frac{10}{9}\approx 1.111111111$$

مراحل راه‌حل

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x را با -\frac{1}{x}جایگزین کنید.

$$-\frac{1}{x}-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x را با -\frac{1}{2x^{2}}جایگزین کنید. -1 بار -\frac{1}{2x^{2}}.

$$-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}$$

ساده کنید.

$$\frac{\frac{1}{2}-x}{x^{2}}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\left(\frac{1}{2}-\left(-1\right)\right)\left(-1\right)^{-2}-\left(\frac{1}{2}-\left(-3\right)\right)\left(-3\right)^{-2}$$

ساده کنید.

$$\frac{10}{9}$$