حل ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^3 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 3 } d x$$

ارزیابی

$$4305$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} برای گسترش \left(4x-3\right)^{3} استفاده کنید.

$$\int _{-2}^{5}64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -144x^{2}\mathrm{d}x+\int 108x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{3}\mathrm{d}x را با \frac{x^{4}}{4}جایگزین کنید. 64 بار \frac{x^{4}}{4}.

$$16x^{4}-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. -144 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$16x^{4}-48x^{3}+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. 108 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}+\int -27\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال -27 را بگیرید.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}-27x$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$16\times 5^{4}-48\times 5^{3}+54\times 5^{2}-27\times 5-\left(16\left(-2\right)^{4}-48\left(-2\right)^{3}+54\left(-2\right)^{2}-27\left(-2\right)\right)$$

ساده کنید.

$$4305$$