حل ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^2 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 2 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{1561}{3}\approx 520.333333333$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int _{-2}^{5}16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 16x^{2}-24x+9\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -24x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 16 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-24\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -24 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 9 را بگیرید.

$$\frac{16x^{3}}{3}-12x^{2}+9x$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{16}{3}\times 5^{3}-12\times 5^{2}+9\times 5-\left(\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}-12\left(-2\right)^{2}+9\left(-2\right)\right)$$

ساده کنید.

$$\frac{1561}{3}$$