حل ∫ (from - 1 to 2) of (2x-5)^2 wrt x=

$$\int _ { - 1 } ^ { 2 } ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } d x =$$

ارزیابی

$$57$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x-5\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int _{-1}^{2}4x^{2}-20x+25\mathrm{d}x$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int 4x^{2}-20x+25\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -20x\mathrm{d}x+\int 25\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-20\int x\mathrm{d}x+\int 25\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 4 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-20\int x\mathrm{d}x+\int 25\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید. -20 بار \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-10x^{2}+\int 25\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 25 را بگیرید.

$$\frac{4x^{3}}{3}-10x^{2}+25x$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{4}{3}\times 2^{3}-10\times 2^{2}+25\times 2-\left(\frac{4}{3}\left(-1\right)^{3}-10\left(-1\right)^{2}+25\left(-1\right)\right)$$

ساده کنید.

$$57$$