حل ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

ارزیابی

$$-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

مراحل راه‌حل

از اموال توزیعی برای ضرب 1-y در y استفاده کنید.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه کنید.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

چون \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int y\mathrm{d}y را با \frac{y^{2}}{2}جایگزین کنید.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

چون \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int y^{2}\mathrm{d}y را با \frac{y^{3}}{3}جایگزین کنید. -1 بار \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

انتگرال معین برابر است با ضدمشتق عبارت محاسبه‌شده در حد بالای انتگرال‌گیری منهای ضدمشتق محاسبه‌شده در حد پایین انتگرال‌گیری.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

ساده کنید.

$$-\frac{2}{3}$$