حل ∫ 3x^3(x^5+7)^2 wrt x

$$\int 3 x ^ { 3 } ( x ^ { 5 } + 7 ) ^ { 2 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x^{5}+7\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int 3x^{3}\left(\left(x^{5}\right)^{2}+14x^{5}+49\right)\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 5 و 2 را برای رسیدن به 10 ضرب کنید.

$$\int 3x^{3}\left(x^{10}+14x^{5}+49\right)\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3x^{3} در x^{10}+14x^{5}+49 استفاده کنید.

$$\int 3x^{13}+42x^{8}+147x^{3}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 3x^{13}\mathrm{d}x+\int 42x^{8}\mathrm{d}x+\int 147x^{3}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$3\int x^{13}\mathrm{d}x+42\int x^{8}\mathrm{d}x+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{13}\mathrm{d}x را با \frac{x^{14}}{14}جایگزین کنید. 3 بار \frac{x^{14}}{14}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+42\int x^{8}\mathrm{d}x+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{8}\mathrm{d}x را با \frac{x^{9}}{9}جایگزین کنید. 42 بار \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+147\int x^{3}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{3}\mathrm{d}x را با \frac{x^{4}}{4}جایگزین کنید. 147 بار \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$\frac{3x^{14}}{14}+\frac{14x^{9}}{3}+\frac{147x^{4}}{4}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$3x^{3}\left(x^{5}+7\right)^{2}$$