حل ∫ 3x^2(2x^2+4)^2 wrt x

$$\int 3 x ^ { 2 } ( 2 x ^ { 2 } + 4 ) ^ { 2 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x^{2}+4\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int 3x^{2}\left(4\left(x^{2}\right)^{2}+16x^{2}+16\right)\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$\int 3x^{2}\left(4x^{4}+16x^{2}+16\right)\mathrm{d}x$$

از اموال توزیعی برای ضرب 3x^{2} در 4x^{4}+16x^{2}+16 استفاده کنید.

$$\int 12x^{6}+48x^{4}+48x^{2}\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 12x^{6}\mathrm{d}x+\int 48x^{4}\mathrm{d}x+\int 48x^{2}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$12\int x^{6}\mathrm{d}x+48\int x^{4}\mathrm{d}x+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{6}\mathrm{d}x را با \frac{x^{7}}{7}جایگزین کنید. 12 بار \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+48\int x^{4}\mathrm{d}x+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{4}\mathrm{d}x را با \frac{x^{5}}{5}جایگزین کنید. 48 بار \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+48\int x^{2}\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 48 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$\frac{12x^{7}}{7}+\frac{48x^{5}}{5}+16x^{3}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$12\left(x\left(x^{2}+2\right)\right)^{2}$$