حل ∫ (x^3-1)^2 wrt x=

$$\int ( x ^ { 3 } - 1 ) ^ { 2 } d x =$$

ارزیابی

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{4}}{2}+x+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x^{3}-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$\int \left(x^{3}\right)^{2}-2x^{3}+1\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 3 و 2 را برای رسیدن به 6 ضرب کنید.

$$\int x^{6}-2x^{3}+1\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int -2x^{3}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x-2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{6}\mathrm{d}x را با \frac{x^{7}}{7}جایگزین کنید.

$$\frac{x^{7}}{7}-2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{3}\mathrm{d}x را با \frac{x^{4}}{4}جایگزین کنید. -2 بار \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{4}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 1 را بگیرید.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{x^{4}}{2}+x$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$x-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{7}}{7}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$\left(x^{3}-1\right)^{2}$$