حل ∫ (2x^2+3)^3 wrt x

$$\int ( 2 x ^ { 2 } + 3 ) ^ { 3 } d x$$

ارزیابی

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x+С$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} برای گسترش \left(2x^{2}+3\right)^{3} استفاده کنید.

$$\int 8\left(x^{2}\right)^{3}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 3 را برای رسیدن به 6 ضرب کنید.

$$\int 8x^{6}+36\left(x^{2}\right)^{2}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$\int 8x^{6}+36x^{4}+54x^{2}+27\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 8x^{6}\mathrm{d}x+\int 36x^{4}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$8\int x^{6}\mathrm{d}x+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{6}\mathrm{d}x را با \frac{x^{7}}{7}جایگزین کنید. 8 بار \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+36\int x^{4}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{4}\mathrm{d}x را با \frac{x^{5}}{5}جایگزین کنید. 36 بار \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 27\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 54 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+\int 27\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال 27 را بگیرید.

$$\frac{8x^{7}}{7}+\frac{36x^{5}}{5}+18x^{3}+27x$$

ساده کنید.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$27x+18x^{3}+\frac{36x^{5}}{5}+\frac{8x^{7}}{7}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$\left(2x^{2}+3\right)^{3}$$