حل ∫ (frac{sqrt{x}}{5}+4/sqrt[4]{x}) wrt x

$$\int ( \frac { \sqrt { x } } { 5 } + \frac { 4 } { \sqrt[ 4 ] { x } } ) d x$$

ارزیابی

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{15}+\frac{16x^{\frac{3}{4}}}{3}+С$$

مراحل راه‌حل

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int \frac{\sqrt{x}}{5}\mathrm{d}x+\int \frac{4}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$\frac{\int \sqrt{x}\mathrm{d}x}{5}+4\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

\sqrt{x} را به‌عنوان x^{\frac{1}{2}} بازنویسی کنید. چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x را با \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}جایگزین کنید. ساده کنید. \frac{1}{5} بار \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{15}+4\int \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\mathrm{d}x$$

\frac{1}{\sqrt[4]{x}} را به‌عنوان x^{-\frac{1}{4}} بازنویسی کنید. چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{-\frac{1}{4}}\mathrm{d}x را با \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}}جایگزین کنید. ساده کنید. 4 بار \frac{4x^{\frac{3}{4}}}{3}.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{15}+\frac{16x^{\frac{3}{4}}}{3}$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{15}+\frac{16x^{\frac{3}{4}}}{3}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$\frac{\sqrt{x}}{5}+\frac{4}{\sqrt[4]{x}}$$