حل ∫ 18x^3+33x^2-40x-75/3x+5 wrt x

$$\int \frac { 18 x ^ { 3 } + 33 x ^ { 2 } - 40 x - 75 } { 3 x + 5 } d x$$

ارزیابی

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x+С$$

مراحل راه‌حل

عباراتی که قبلاً از آنها فاکتور گرفته نشده‌اند، در \frac{18x^{3}+33x^{2}-40x-75}{3x+5} فاکتور گرفته شوند.

$$\int \frac{\left(2x-3\right)\left(3x+5\right)^{2}}{3x+5}\mathrm{d}x$$

3x+5 را هم در صورت و هم مخرج ساده کنید.

$$\int \left(2x-3\right)\left(3x+5\right)\mathrm{d}x$$

عبارت گسترش داده شود.

$$\int 6x^{2}+x-15\mathrm{d}x$$

حاصل جمع را جمله به جمله انتگرال بگیرید.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

در هر جمله، عدد ثابت را فاکتور بگیرید.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x^{2}\mathrm{d}x را با \frac{x^{3}}{3}جایگزین کنید. 6 بار \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}+\int x\mathrm{d}x+\int -15\mathrm{d}x$$

چون \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} برای k\neq -1 است، \int x\mathrm{d}x را با \frac{x^{2}}{2}جایگزین کنید.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int -15\mathrm{d}x$$

با استفاده از جدول انتگرال‌های مشترک قانون \int a\mathrm{d}x=ax، انتگرال -15 را بگیرید.

$$2x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-15x$$

اگر F\left(x\right) ضدمشتق f\left(x\right) است، پس مجموعه همه ضدمشتق‌های f\left(x\right) توسط F\left(x\right)+C به‌دست می‌آید. بنابراین ثابت انتگرال‌گیری C\in \mathrm{R} را به نتیجه اضافه کنید.

$$-15x+\frac{x^{2}}{2}+2x^{3}+С$$

مشتق گرفتن w.r.t. x

$$6x^{2}+x-15$$